用 Python 求解拉普拉斯变换与逆变换

前置准备

导入 sympy 库：

import sympy as sp

定义符号变量 s 和 t ：

t,s=sp.symbols("t s")

正变换

自定义一个函数来调用：

def Laplace_transform(func,t,s):
    return sp.laplace_transform(func,t,s)[0]

其中 [0] 代表只返回结果，不返回收敛域；

func 就是要变换的 f(t) 。直接 print 这个自定义函数即可查看结果

逆变换

同样的，自定义一个函数来调用：

def Inverse_Laplace_transform(func,s,t):
    return sp.inverse_laplace_transform(func,s,t)

注意这次不能带 [0] 。

其中 func 就是要变换的 F(s) 。直接 print 这个自定义函数即可查看结果

关于函数输入

注意不能混用 math 和 sympy 的函数！

比如指数要用 sp.exp(-t)，不能用 math.exp(-t)。对于其他的平方、除法等运算，正常输入即可。

完整示例

我们求下面两个函数的拉普拉斯变换和逆变换：

f(t)=\dfrac{sin(kt)}{t}

F(s)=\dfrac{s}{(s^2 -1)^2}

代码如下：

import sympy as sp

def Laplace_transform(func,t,s):
    return sp.laplace_transform(func,t,s)[0]

def Inverse_Laplace_transform(func,s,t):
    return sp.inverse_laplace_transform(func,s,t)

# 定义符号，k也是符号，因为没有指定具体值
t,s=sp.symbols("t s")
k=sp.symbols("k",positive=True)

# 求 f(t)=sin(kt)/t 的拉普拉斯变换
func_t=sp.sin(k*t)/t
func_s=Laplace_transform(func_t,t,s)
print(f"F(s) = {func_s}")  # 结果: atan(k/s)

# 求 F(s)=s/(s^2-1)^2 的逆拉普拉斯变换
func_s=s/((s**2-1)**2)
func_t=Inverse_Laplace_transform(func_s,s,t)
print(f"f(t) = {func_t}")  # 结果: t*sinh(t)/2

运行后得到结果：

是正确的。